Question

15．设实数a，b满足a+2b=9．
（1）若|9-2b|+|a+1|＜3，求a的取值范围；
（2）若a，b＞0，且z=ab²，求z的最大值．

Answer 1

分析 （1）由条件原不等式变为|a|+|a+1|＜3，对a讨论，去掉绝对值，解不等式即可得到所求解集；
（2）方法一、由a，b＞0，且z=ab²=a•b•b，运用三元基本不等式，即可得到得到最大值；
方法二、由条件可得a=9-2b，求得b的范围，求出z关于b的函数，求出导数，单调区间，可得极大值，且为最大值．

解答 解：（1）由a+2b=9得a=9-2b，即|a|=|9-2b|，
若|9-2b|+|a+1|＜3，则|a|+|a+1|＜3，
即有$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{2a+1＜3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a＜-1}\\{-2a-1＜3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-1≤a≤0}\\{1＜3}\end{array}\right.$，
解得0＜a＜1或-2＜a＜-1或-1≤a≤0，
解得-2＜a＜1，
所以a的取值范围为（-2，1）；
（2）方法一、由a，b＞0，且z=ab²=a•b•b≤（$\frac{a+b+b}{3}$）³=（$\frac{a+2b}{3}$）³=3³=27，
当且仅当a=b=3时，等号成立．
故z的最大值为27．
方法二、a+2b=9，可得a=9-2b，
由a＞0，可得0＜b＜$\frac{9}{2}$，
z=ab²=（9-2b）b²=9b²-2b³，
z的导数为z′=18b-6b²=6b（3-b），
可得0＜b＜3，导数z′＞0，函数z递增；
3＜b＜$\frac{9}{2}$时，导数z′＜0，函数z递减．
则b=3处函数z取得极大值，且为最大值27．

点评 本题考查绝对值不等式的解法，注意运用分类讨论思想方法，考查基本不等式的运用，注意变形、运用三元不等式，同时考查导数的运用：求最值，考查运算能力，属于中档题．