Question

3．已知O为△ABC内一点，且$\overrightarrow{AO}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}）$，$\overrightarrow{AD}=t\overrightarrow{AC}$，若B，O，D三点共线，则t的值为（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 以OB，OC为邻边作平行四边形OBFC，连接OF与 BC相交于点E，E为BC的中点．由$\overrightarrow{AO}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}）$，可得$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$=2$\overrightarrow{AO}$=2$\overrightarrow{OE}$，点O是直线AE的中点．根据$\overrightarrow{AD}=t\overrightarrow{AC}$，B，O，D三点共线，可得点D是BO与AC的交点．过点O作OM∥BC交AC于点M，则点M为AC的中点．即可得出．

解答 解：以OB，OC为邻边作平行四边形OBFC，连接OF与 BC相交于点E，E为BC的中点．
∵$\overrightarrow{AO}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}）$，∴$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$=2$\overrightarrow{AO}$=2$\overrightarrow{OE}$，
∴点O是直线AE的中点．
∵$\overrightarrow{AD}=t\overrightarrow{AC}$，B，O，D三点共线，
∴点D是BO与AC的交点．
过点O作OM∥BC交AC于点M，则点M为AC的中点．
则OM=$\frac{1}{2}$EC=$\frac{1}{4}$BC，$\frac{DM}{DC}$=$\frac{1}{4}$，
∴DM=$\frac{1}{3}$MC，
∴AD=$\frac{2}{3}$AM=$\frac{1}{3}$AC，
∴t=$\frac{1}{3}$．
故选：B．

点评 本题考查了向量共线定理、向量三角形与平行四边形法则、平行线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．