Question

已知{a_n}是公比大于1的等比数列，a₁，a₃是函数f（x）=x+

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x

-10的两个零点．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b_n=log₃a_n+n+2，且b₁+b₂+b₃+…+b_n≥80，求n的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（x）=x+

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x

-10=0，得x²-10x+9=0，解得x₁=1，x₂=9，由{a_n}是公比q大于1的等比数列，a₁，a₃是函数f（x）=x+

9

x

-10的两个零点，知a₁=1，a₃=9，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）由an=3n-1，知b_n=log₃a_n+n+2=log33n-1+n+2=2n+1，由此得到b₁+b₂+b₃+…+b_n=n²+2n，由b₁+b₂+b₃+…+b_n≥80，得n²+2n≥80，由此能求出n的最小值．

解答：解：（Ⅰ）由f（x）=x+

9

x

-10=0，得x²-10x+9=0，
解得x₁=1，x₂=9，
∵{a_n}是公比q大于1的等比数列，a₁，a₃是函数f（x）=x+

9

x

-10的两个零点，
∴a₁=1，a₃=9，
∴1×q²=9，∴q=3，
∴an=1×3n-1=3n-1．
（Ⅱ）∵an=3n-1，
∴b_n=log₃a_n+n+2=log33n-1+n+2=2n+1，
∴b₁+b₂+b₃+…+b_n=（2×1+1）+（2×2+1）+（2×3+1）+…+（2n+1）
=2（1+2+3+…+n）+n
=n（n+1）+n
=n²+2n，
∵b₁+b₂+b₃+…+b_n≥80，
∴n²+2n≥80，
解得n≥8，或n≤-10（舍），
故n的最小值为8．

点评：本题考查数列{a_n}的通项公式的求法和求n的最小值．解题时要认真审题，注意等比数列的通项公式和等差数列前n项和公式的灵活运用．