Question

设F₁、F₂为曲线C₁：

x2

6

+

y2

2

=1的焦点，P是曲线C₂：

x2

3

-y²=1与C₁的一个交点，则△PF₁F₂的面积为

 

．

Answer 1

分析：根据双曲线和椭圆的定义可得 PF₁+PF₂=2

6

，PF₁-PF₂=2

3

，△PF₁F₂ 中，由余弦定理可得
cos∠F₁PF₂=

1

3

，故 sin∠F₁PF₂=

2 2

3

，由△PF₁F₂的面积为

1

2

•PF₁•PF₂•sin∠F₁PF₂运算
得到结果．

解答：解：由曲线C₁：

x2

6

+

y2

2

=1的方程可得 F₁ （-2，0）、F₂ （2，0），再由椭圆的定义可得
PF₁+PF₂=2

6

． 又因曲线C₂：

x2

3

-y²=1 的焦点和曲线C₁ 的焦点相同，再由双曲线的定义可得
PF₁-PF₂=2

3

．∴PF₁=

6

+ 

3

，PF₂=

6

-

3

．
△PF₁F₂ 中，由余弦定理可得  16=(

6

+

3

)2+   (

6

-

3

)2-2（

6

+

3

）（

6

-

3

）cos∠F₁PF₂ ，
解得 cos∠F₁PF₂=

1

3

，∴sin∠F₁PF₂=

2 2

3

，
△PF₁F₂的面积为

1

2

•PF₁•PF₂•sin∠F₁PF₂=

1

2

（

6

+

3

 ）（

6

-

3

）sin∠F₁PF₂=

2

，
故答案为：

2

．

点评：本题考查双曲线和椭圆的定义和标准方程，以及简单性质的应用，求出 PF₁=

6

+ 

3

，PF₂=

6

-

3

，
 sin∠F₁PF₂ 的值，是解题的关键．