Question

4．已知在△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8，P是线段AB上的点，则P到AC，BC的距离的乘积的最大值为（　　）

• A． 12
• B． 8
• C． $8\sqrt{3}$
• D． 36

Answer 1

分析 设P到AC的距离为x，到BC的距离为y，根据比例线段的性质可知$\frac{x}{6}=\frac{8-y}{8}$，整理求得y=8-$\frac{4}{3}$x，进而可求得xy的表达式根据二次函数的性质求得答案．

解答 解：如图，设P到AC的距离为x，到BC的距离为y，$\frac{x}{6}=\frac{8-y}{8}$，
即最上方小三角形和最大的那个三角形相似，它们对应的边有此比例关系，所以4x=24-3y，y=8-$\frac{4}{3}$x
求xy最大，也就是那个矩形面积最大．
xy=x•（8-$\frac{4}{3}$x）=-$\frac{4}{3}$（x²-6x），当x=3时，xy有最大值12
故选A．

点评 本题主要考查了解三角形的问题．考查了学生转化和化归思想，函数思想的运用．考查了学生分析问题和解决问题的能力．