Question

9．若过点（1，2）总可以作两条直线与圆x²+y²+kx+2y+k²-15=0相切，则实数k的取值范围是（　　）

• A． k＜-3或k＞2
• B． -3＜k＜2
• C． k＞2
• D． 以上都不对

Answer 1

分析 把圆的方程化为标准方程后，根据构成圆的条件得到等号右边的式子大于0，列出关于k的不等式，求出不等式的解集，然后由过已知点总可以作圆的两条切线，得到点在圆外，故把点的坐标代入圆的方程中得到一个关系式，让其大于0列出关于k的不等式，求出不等式的解集，综上，求出两解集的并集即为实数k的取值范围．

解答 解：把圆的方程化为标准方程得：（x+$\frac{1}{2}$k）²+（y+1）²=16-$\frac{3}{4}$k²，
所以16-$\frac{3}{4}$k²＞0，解得：-$\frac{8}{3}\sqrt{3}$＜k＜$\frac{8}{3}\sqrt{3}$，
又点（1，2）应在已知圆的外部，
把点代入圆方程得：1+4+k+4+k²-15＞0，即（k-2）（k+3）＞0，
解得：k＞2或k＜-3，
则实数k的取值范围是（-$\frac{8}{3}\sqrt{3}$，-3）∪（2，$\frac{8}{3}\sqrt{3}$）．
故选D．

点评 此题考查了点与圆的位置关系，二元二次方程为圆的条件及一元二次不等式的解法．理解过已知点总利用作圆的两条切线，得到把点坐标代入圆方程其值大于0是解本题的关键．