Question

20．已知函数f（x）为R上的偶函数．当x≤0时，f（x）=4^-x-a•2^-x（a＞0）
（Ⅰ）求函数f（x）在（0，+∞）上的解析式；
（Ⅱ）求函数f（x）在（0，+∞）上的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据偶函数的性质秒，即可求出答案，
（Ⅱ）令t=2^x，则y=t²-at，t＞1，根据二次函数的性质即可求出．

解答 解：当x＞0时，-x＜0，而f（x）为R上偶函数
∴f（x）=f（-x）=4^x-a•2^x，
∴当x＞0，f（x）=4^x-a•2^x，
（Ⅱ）令t=2^x，则y=t²-at，t＞1
若0≤$\frac{a}{2}$≤1时，y_min=1-a；若$\frac{a}{2}$＞1，y_min=（$\frac{a}{2}$）²-a•$\frac{a}{2}$=-$\frac{{a}^{2}}{4}$
综上f（x）_min=$\left\{\begin{array}{l}{1-a，0＜a≤2}\\{-\frac{{a}^{2}}{4}，a＞2}\end{array}\right.$

点评 本题考查了偶函数的性质和二次函数的性质，属于中档题．