Question

19．在△ABC中，sinA+$\sqrt{3}$cosA=2．
（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）若a=2； B=45°；求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用两角和的正弦函数公式化简已知可得sin（A+$\frac{π}{3}$）=1，解得A=2kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，结合范围A∈（0，π），即可得解A的值．
（Ⅱ）利用三角形内角和定理可求C的值，利用正弦定理可求b的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 解：（Ⅰ）∵sinA+$\sqrt{3}$cosA=2，可得：2sin（A+$\frac{π}{3}$）=2，
∴sin（A+$\frac{π}{3}$）=1，可得：A+$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得：A=2kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
∵A∈（0，π），
∴A=$\frac{π}{6}$；
（Ⅱ）∵a=2； B=$\frac{π}{4}$，A=$\frac{π}{6}$，可得：C=π-A-B=$\frac{7π}{12}$
∴b=$\frac{asinB}{sinA}$=$\frac{2×\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×2×2\sqrt{2}$×sin$\frac{7π}{12}$=1+$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，正弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．