Question

7．已知函数f（x）=x²+2ax+1（a∈R），f′（x）是f（x）的导函数．
（1）若x∈[-2，-1]，不等式f（x）≤f′（x）恒成立，求a的取值范围；
（2）解关于x的方程f（x）=|f′（x）|．

Answer 1

分析 （1）用分离参数法转化为求最值；（2）通过平方去掉绝对值：（x+a）²-2|x+a|+1-a²=0，则|x+a|=1+a或|x+a|=1-a．求解．

解答 解：（1）因为f（x）≤f′（x），所以x²-2x+1≤2a（1-x）．又因为-2≤x≤-1，所以a≥$\frac{{x}^{2}-2x+1}{2（1-x）}=\frac{1-x}{2}$在x∈[-2，-1]时恒成立．因为$\frac{1-x}{2}$≤$\frac{3}{2}$，所以a≥$\frac{3}{2}$．
（2）因为f（x）=|f′（x）|，所以x²+2ax+1=2|x+a|，所以（x+a）²-2|x+a|+1-a²=0，则|x+a|=1+a或|x+a|=1-a．
①当a＜-1时，|x+a|=1-a，所以x=-1或x=1-2a；
②当-1≤a≤1时，|x+a|=1-a或|x+a|=1+a，所以x=±1或x=1-2a或x=-（1+2a）；
③当a＞1时，|x+a|=1+a，所以x=1或x=-（1+2a）．

点评 本题考查了用分离参数法处理恒成立问题、解绝对值不等式，属于中档题．