Question

2．已知函数f（x）=a^|x-b|（a＞0，a≠1），则对任意的非零实数a，b，m，n，p，关于x的方程m[f（x）]²+nf（x）+p=0的解集都不可能是（　　）

• A． {1，3}
• B． {1，4}
• C． {1，3，4}
• D． {1，2，3，4}

Answer 1

分析 关于f（x）的方程m[f（x）]²+nf（x）+p=0的解集可能只有一个正实数根或有两个不同的正实数根，再利用指数函数类型函数的性质即可得出．

解答 解：关于x的方程m[f（x）]²+nf（x）+p=0的解集都不可能是C．下面给出证明：
若此方程关于f（x）只有一个正实数根α，
则a^|x-b|=α＞0，必有两个不同的实数根，可能为{1，3}，或{1，4}．
若此方程关于f（x）若有两个不同的正实数根α，β，
则a^|x-b|=α或β＞0，必有四个不同的实数根，可能为{1，2，3，4}．
因此关于x的方程m[f（x）]²+nf（x）+p=0的解集都不可能是C．
故选：C．

点评 本题考查了指数函数类型函数的性质、一元二次方程的实数根，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．