Question

17．已知圆 M：x²+（y-2）²=1，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切圆M于A，B两点．
（1）若Q（1，0），求切线QA，QB的方程；
（2）若|AB|=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，求直线MQ的方程．

Answer 1

分析 （1）设出切线方程，利用圆心到直线的距离列出方程求解即可．
（2）设AB与MQ交于点P，求．出|MP|，利用相似三角形，|MB|²=|MP||MQ|，设Q（x，0），通过x²+2²=9，求解即可．

解答 解：（1）设过点Q的圆M的切线方程为x=my+1，则圆心M到切线的距离为1，
∴$\frac{|2m+1|}{\sqrt{{m}^{2}+1}}=1$，∴m=-$\frac{4}{3}$或m=0，
∴切线方程为3x+4y-3=0和x=1．
（2）设AB与MQ交于点P，则MP⊥AB，∵MB⊥BQ，∴|MP|=$\sqrt{1-（{\frac{2\sqrt{2}}{3}）}^{2}}=\frac{1}{3}$，
利用相似三角形，|MB|²=|MP||MQ|，∴|MQ|=3，设Q（x，0），x²+2²=9，∴x=$±\sqrt{5}$，
直线方程为：2x+$\sqrt{5}y-2\sqrt{5}=0$或2x-$\sqrt{5}y+2\sqrt{5}$=0．

点评 本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．