Question

7．已知关于x的二次函数f（x）=ax²-4bx+1．
（1）设集合P={1，2，3}和Q={-1，0，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率；
（2）设点（a，b）是区域$\left\{\begin{array}{l}{x+y-8≤0}\\{x＞0}\\{y＞0}\end{array}\right.$内的一点，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．

Answer 1

分析 （1）这是一个古典概型问题，分别计算出满足条件的基本事件个数，及基本事件的总个数，然后代入古典概型计算公式，即可求解．
（2）作出不等式组对应的平面区域，根据概率的几何概型的概率公式进行计算即可得到结论．

解答 解：（1）∵函数f（x）=ax²-4bx+1的图象的对称轴为x=$\frac{2b}{a}$
要使f（x）=ax²-4bx+1在区间[1，+∞）上为增函数，
当且仅当a＞0且$\frac{2b}{a}$≤1，即2b≤a
若a=1则b=-1，0；
若a=2则b=-1，0，1；
若a=3则b=-1，0，1；
∴事件包含基本事件的个数是2+3+3=8
∴所求事件的概率为：$\frac{8}{15}$．
（2）解：作出不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x+y-8≤0}\\{x＞0}\\{y＞0}\end{array}\right.$内对应的平面区域如图：对应的图形为△OAB，其中对应面积为S=$\frac{1}{2}$×8×8=32，
若f（x）=ax²-4bx+1在区间[1，+∞）上是增函数，
则满足a＞0且对称轴x=$\frac{4b}{2a}$≤1，
即$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{a≥2b}\end{array}\right.$，对应的平面区域为△OBC，
由$\left\{\begin{array}{l}{a=2b}\\{a+b-8=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{16}{3}}\\{b=\frac{8}{3}}\end{array}\right.$，
∴对应的面积为S₁=$\frac{1}{2}$×$\frac{8}{3}$×8=$\frac{32}{3}$，
∴根据几何概型的概率公式可知所求的概率为$\frac{\frac{32}{3}}{32}$=$\frac{1}{3}$，

点评 本题主要考查几何概型的概率公式的计算，作出不等式组对应的平面区域是解决本题的关键．考查古典概型，掌握古典概型的计算步骤和计算公式是解答本题的关键，同时考查了分类的思想，属于中档题．