Question

3．若函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-{x}^{2}+1，x≤1\\ x-1，x＞1\end{array}\right.$，则满足方程f（a+1）=f（a）的实数a的值为-$\frac{1}{2}$，或$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 由已知中函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-{x}^{2}+1，x≤1\\ x-1，x＞1\end{array}\right.$，分类讨论满足方程f（a+1）=f（a）的实数a的值，综合可得答案．

解答 解：∵函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-{x}^{2}+1，x≤1\\ x-1，x＞1\end{array}\right.$，f（a+1）=f（a）
当a≤-1或a≥1，时f（a+1）≠f（a）；
当-1＜a＜0，即0＜a+1＜1时，由f（a+1）=f（a）得-（a+1）²+1=-a²+1，
解得$a=-\frac{1}{2}$；
当a=0，即a+1=1时，f（a+1）=0≠f（a）=1；
当0＜a＜1即1＜a+1＜2时，由f（a+1）=f（a）得（a+1）-1=-a²+1，
解得$a=\frac{{-1+\sqrt{5}}}{2}$，$a=\frac{{-1-\sqrt{5}}}{2}$（舍去）；
综上：$a=-\frac{1}{2}$或$a=\frac{{-1+\sqrt{5}}}{2}$．
故答案为：-$\frac{1}{2}$，或$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，函数求值，分类讨论思想，难度中档．