Question

设f（x）=x+

1

x

的图象为c₁，c₁关于点A（2，1）对称的图象为c₂，c₂对应的函数为g（x）
（1）求g（x）的解析表达式；
（2）解不等式logag(x)＜loga

9

2

（a＞0且≠1）

Answer 1

分析：（1）设函数g（x）图象任一点P（x，y），利用中点坐标公式求关于点A对称的点P'坐标，再把此点的坐标代入函数f（x）的解析式，化简得到g（x）的解析式；
（2）由g（x）＞0求出x的范围，即对应函数的定义域，再分a＞1和0＜a＜1两种情况求解，分别利用对数函数的单调性进行转化，解分式不等式的解集时利用通分进行化简，利用求出的x的范围求解不等式的解集，并与定义域求交集．

解答：解：（1）设函数g（x）图象c₂上任一点P（x，y），则关于点A（2，1）对称的点P'坐标为（x'，y'），
由中点坐标公式得，

x+x′ 2 =2 y+y′ 2 =1

，解得x'=4-x，y'=2-y，即P'（4-x，2-y），
∵点P'在函数f（x）=x+

1

x

的图象c₁上，∴2-y=4-x+

1

4-x

，则y=x-2+

1

x-4

，
∴g（x）=x-2+

1

x-4

．
（2）由g（x）＞0得，x-2+

1

x-4

＞0，即

x2-6x+9

x-4

＞0，
∴（x²-6x+9）（x-4）＞0，解得x＞4，则y=log_a^g（x）的定义域是（4，+∞），
下面分两种情况求解：
当a＞1时，函数y=log_a^x在定义域上是增函数，
∴原不等式变为x-2+

1

x-4

＜

9

2

，即

x2-6x+9

x-4

-

9

2

＜0，
∴

2x2-21x+54

2(x-4)

＜0，
∵x＞4，∴2x²-21x+54＜0，解得，

9

2

＜x＜6；
即不等式的解集是{x|

9

2

＜x＜6}，
当0＜a＜1时，函数y=log_a^x在定义域上是减函数，
∴原不等式变为x-2+

1

x-4

＞

9

2

，即

x2-6x+9

x-4

-

9

2

＞0，
∴

2x2-21x+54

2(x-4)

＞0，
∵x＞4，∴2x²-21x+54＞0，解得，x＞6或x＜

9

2

，
∵x＞4，∴4＜x＜

9

2

或x＞6，即不等式的解集是{x|4＜x＜

9

2

或x＞6}，
综上，当a＞1时不等式的解集是{x|

9

2

＜x＜6}，
当0＜a＜1时不等式的解集为{x|4＜x＜

9

2

或x＞6}．

点评：本题是一道难度和计算量较大的综合题，考查了利用对称和代入法求函数的解析式，利用底数进行分类讨论和对数函数的单调性，对有关对数不等式进行转化；注意求解先求出函数的定义域以及分式不等式的等价变形，这是易错的地方．