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    （2011•顺义区二模）对于定义域分别为M，N的函数y=f（x），y=g（x），规定：
    函数h(x)=
    f(x)•g(x)，当x∈M且x∈N
    f(x)，当x∈M且x∉N
    g(x)，当x∉M且x∈N

    （1）若函数f(x)=
    1
    x+1
    ，g(x)=x2+2x+2，x∈R    ，求函数h（x）的取值集合；
    （2）若f（x）=1，g（x）=x2+2x+2，设bn为曲线y=h（x）在点（an，h（an））处切线的斜率；而{an}是等差数列，公差为1（n∈N*），点P1为直线l：2x-y+2=0与x轴的交点，点Pn的坐标为（an，bn）．求证：
    1
    |P1P2|2
    +
    1
    |P1P3|2
    +…+
    1
    |P1Pn|2
    ＜
    2
    5
    ；
    （3）若g（x）=f（x+α），其中α是常数，且α∈[0，2π]，请问，是否存在一个定义域为R的函数y=f（x）及一个α的值，使得h（x）=cosx，若存在请写出一个f（x）的解析式及一个α的值，若不存在请说明理由．
    分析：（1）由函数f(x)=
    1
    x+1
    ，g(x)=x2+2x+2，x∈R    ，可得M={x|x≠-1}，N=R．从而h(x)=
    x2+2x+2
    x+1
    ，x≠-1
    1，x=-1
    ．由此能求出函数h（x）的取值集合．
    （2）由h（x）=x2+2x+2，知h'（x）=2x+2，所以bn=g'（an）=2an+2，由点Pn（an，bn）在直线l上，且a1=-1，又{an}是等差数列，公差为1，知an=n-2，bn=2n-2故Pn（n-2，2n-2），由此能够证明
    1
    |P1P2|2
    +
    1
    |P1P3|2
    +…+
    1
    |P1Pn|2
    ＜
    2
    5
    ．（3）由函数y=f（x）的定义域为R，得g（x）=f（x+a）的定义域为R．所以，对于任意x∈R，都有h（x）=f（x）•g（x）
    即对于任意x∈R，都有cosx=f（x）•f（x+a），所以，令f(x)=
    		2
    cos(
    x
    2
    -
    π
    4
    )    ，且α=π，即可．
    解答：解：（1）由函数f(x)=
    1
    x+1
    ，g(x)=x2+2x+2，x∈R    可得M={x|x≠-1}，N=R
    从而h(x)=
    x2+2x+2
    x+1
    ，x≠-1
    1，x=-1

    当x＞-1时，h(x)=
    x2+2x+2
    x+1
    =
    (x+1)2+1
    x+1
    =x+1+
    1
    x+1
    ≥2
    当x＜-1时，h(x)=
    x2+2x+2
    x+1
    =
    (x+1)2+1
    x+1
    =-(-x-1+
    1
    -x-1
    )≤-2
    所以h（x）的取值集合为{y|y≤-2，或y≥2或y=1}…．（5分）
    （2）易知h（x）=x2+2x+2，
    所以h'（x）=2x+2所以bn=g'（an）=2an+2
    显然点Pn（an，bn）在直线l上，且a1=-1，
    又{an}是等差数列，公差为1
    所以an=n-2，bn=2n-2故Pn（n-2，2n-2），又P1（-1，0）
    所以|P1Pn|=
    		5
    (n-1)(n≥2)
    所以
    1
    |P1P2|2
    +
    1
    |P1P3|2
    +…+
    1
    |P1Pn|2
    =
    1
    5
    [1+
    1
    22
    +
    1
    32
    +…+
    1
    (n-1)2
    ]    ＜
    1
    5
    [1+
    1
    1•2
    +
    1
    2•3
    +…+
    1
    (n-2)(n-1)
    ]
    =
    1
    5
    [1+1-
    1
    n-1
    ]＜
    2
    5
    …..（8分）
    （3）由函数y=f（x）的定义域为R，
    得g（x）=f（x+a）的定义域为R，
    所以，对于任意x∈R，都有h（x）=f（x）•g（x）
    即对于任意x∈R，都有cosx=f（x）•f（x+a）
    所以，我们考虑将cosx分解成两个函数的乘积，
    而且这两个函数还可以通过平移相互转化
    cosx=cos2
    x
    2
    -sin2
    x
    2
    =(cos
    x
    2
    +sin
    x
    2
    )(cos
    x
    2
    -sin
    x
    2
    )
    =
    		2
    cos(
    x
    2
    -
    π
    4
    )•
    		2
    cos(
    x
    2
    +
    π
    4
    )
    所以，令f(x)=
    		2
    cos(
    x
    2
    -
    π
    4
    )    ，
    且α=π，即可    …..（13分）
    又cosx=1-2sin2
    x
    2
    =(1+
    		2
    sin
    x
    2
    )(1-
    		2
    sin
    x
    2
    )
    所以，令f(x)=1+
    		2
    sin
    x
    2
    ，
    且α=2π，即可（答案不唯一）
    点评：本题数列与不等式的综合，结合三角函数的性质的处理问题，对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．解题时要认真审题，注意三角函数性质的灵活运用．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2011•顺义区二模）在△ABC中，若b=1，c=
    		3
    ，∠A=
    π
    6
    ，则a=
    1
    1
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2011•顺义区二模）已知函数f(x)=2-sin(2x+
    π
    6
    )-2sin2x    ，x∈R
    （1）求函数f（x）的最小正周期；
    （2）记△ABC的内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，若f(
    B
    2
    )=1，b=1，c=
    		3
    ，求a的值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2011•顺义区二模）已知定义在区间[0，
    3π
    2
    ]上的函数y=f（x）的图象关于直线x=
    3π
    4
    对称，当x≥
    3π
    4
    时，f（x）=cosx，如果关于x的方程f（x）=a有解，记所有解的和为S，则S不可能为（　　）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2011•顺义区二模）某棉纺厂为了解一批棉花的质量，从中随机抽测100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标）．所得数据均在区间[5，40]中，其频率分布直方图如图所示，由图中数据可知a=
    0.05
    0.05
    ，在抽测的100根中，棉花纤维的长度在[20，30]内的有
    55
    55
    根．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2011•顺义区二模）已知
    e1
    =(1，0)，
    e2
    =(0，1)    ，
    a
    =2
    e1
    +
    e2
    ，
    b
    =λ
    e1
    -
    e2
    ，当
    a
    ∥
    b
    时，实数λ等于（　　）

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