Question

（2011•顺义区二模）已知函数f(x)=2-sin(2x+

π

6

)-2sin2x，x∈R
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）记△ABC的内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，若f(

B

2

)=1，b=1，c=

3

，求a的值．

Answer 1

分析：（1）把函数解析式的第二项利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，第三项利用二倍角的余弦函数公式化简，去括号合并后，再利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值，把函数解析式化为一个角的余弦函数，找出ω的值，代入周期公式T=

2π

|ω|

，即可求出函数的最小正周期；
（2）由f（

B

2

）=1，故把x=

B

2

代入第一问化简后的解析式中，让其值等于1，化简后求出cos（B+

π

3

）的值为0，由B的范围，得到B+

π

3

的范围，利用特殊角的三角函数值得出关于B的方程，求出方程的解得到B的度数，再由b和c的值，利用正弦定理求出sinC的值，由C为三角形的内角，可得出C的度数有两解

π

3

或

2π

3

，当C为

π

3

，求出A为直角，此时三角形为直角三角形，根据勾股定理求出a；当C为

2π

3

，此时三角形为等腰三角形，可得a=b，由b即可求出a．

解答：解：（1）f(x)=2-sin(2x+

π

6

)-2sin2x
=2-(sin2xcox

π

6

+cos2xsin

π

6

)-(1-cos2x)
=1+cos2x-(

3

2

sin2x+

1

2

cos2x)
=

1

2

cos2x-

3

2

sin2x+1
=cos(2x+

π

3

)+1…（5分）
∵ω=2，∴T=

2π

2

=π，
则函数f（x）的最小正周期为π；
（2）由f(

B

2

)=1得：cos(B+

π

3

)+1=1，即cos(B+

π

3

)=0，
又0＜B＜π，∴

π

3

＜B+

π

3

＜

4

3

π，
∴B+

π

3

=

π

2

，即B=

π

6

，…（9分）
∵b=1，c=

3

，
∴由正弦定理

b

sinB

=

c

sinC

得：sinC=

3

2

，
∴C=

π

3

或

2

3

π，…（11分）
当C=

π

3

时，A=

π

2

，从而a=

b2+c2

=2，
当C=

2π

3

时，A=

π

6

，又B=

π

6

，从而a=b=1，
则a的值为1或2．…（13分）

点评：此题考查了三角函数的周期性及其求法，涉及的知识有：两角和与差的正弦、余弦函数公式，二倍角的余弦函数公式，正弦定理，以及特殊角的三角函数值，求函数最小正周期的关键是利用三角函数的恒等变换把函数解析式化为一个角的三角函数，同时运用正弦定理能很好的建立了三角形的边角关系，熟练掌握正弦定理是解第二问的关键．