Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱CC₁⊥底面ABC，∠ACB=90°，且AC=BC=CC₁，O为AB₁中点．
（1）求证：CO⊥平面ABC₁；
（2）求直线BC与平面ABC₁所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）要证CO⊥平面ABC₁，只需证CO垂直于该面中的两条相交直线即可，通过取AB的中点M，连结CM，OM，由AB垂直于面COM得到CO垂直于AB，证明BC垂直于面A₁ACC₁得到BC垂直于AC₁，再由AC₁⊥A₁C得到AC₁⊥平面A₁BC，从而有AC₁⊥CO，这样得到了CO垂直于平面ABC₁内的两条相交直线；
（2）由（1）知CO⊥平面ABC₁，设CO与面ABC₁的交点为N，连结BN，则∠CBN为BC与平面ABC₁所成的角，然后通过求解直角三角形即可得到结论．

解答：（1）证明：如图，
取AB中点M，连结CM、OM，
∵AC=BC，∴CM⊥AB，
又∵OM∥BB₁，∴OM⊥AB，
OM∩CM=M，OM，CM?平面OCM，
∴AB⊥平面OCM，∴AB⊥CO，
连结A₁C，∵BC⊥AC，BC⊥CC₁，
∴BC⊥平面A₁ACC₁，且AC₁?平面A₁ACC₁，
∴BC⊥AC₁，
又∵A₁C⊥AC₁，且A₁C∩BC=C，A₁C，BC?平面A₁BC，
∴AC₁⊥平面A₁BC，CO?平面A₁BC，∴CO⊥AC₁，
AB∩AC₁=A，又∵AB，AC₁?平面ABC₁，
∴CO⊥平面ABC₁；
（2）解：连结MC₁交CO于N，连结BN，
∵CO⊥面ABC₁，∴∠CBN为BC与平面ABC₁所成的角，
令AC=BC=CC₁=a，
在Rt△C₁CM中，C₁C=a，CM=

2

2

a，
∴MC₁=

6

2

a，
∵CN⊥MC₁，∴CN•MC₁=CM•CC₁，∴CN=

2 2 a•a

6 2 a

=

3

3

a，
∵CB=a，∴Rt△CBN中，sin∠CBN=

CN

CB

=

3 3 a

a

=

3

3

，
∴直线BC与平面ABC₁所成角的正弦值为

3

3

．

点评：本题考查了直线与平面垂直的判定，考查了线面角的求法，综合考查了学生的空间想象能力和思维能力，解答此题的关键是线面角的招法，是中档题．