Question

已知双曲线C的两个焦点的坐标为为F₁（-6，0），F₂（6，0），且经过点P（-5，2）．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）求以双曲线C的左顶点为焦点的抛物线的标准方程．

Answer 1

考点：双曲线的标准方程,抛物线的标准方程

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）双曲线的定义，求出a，代入P的坐标，即可求双曲线C的标准方程；
（2）求出双曲线C的左顶点，可得抛物线的焦点，即可求出抛物线的标准方程．

解答： 解：（1）设双曲线的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），
由双曲线的定义得2a=||PF1|-|PF2||=|

5

-5

5

|=4

5

，
所以a=2

5

，b²=36-a²=16，
所以所求双曲线的方程为

x2

20

-

y2

16

=1…（7分）
（2）由（1）得，双曲线

x2

20

-

y2

16

=1的左顶点坐标为A(-2

5

，0)．
设抛物线的标准方程为y²=-2px（p＞0）．
因为双曲线C的左顶点为抛物线的焦点，所以

p

2

=2

5

，即p=4

5

．
所以所求抛物线的标准方程为y²=-8

5

x

点评：本题考查抛物线、双曲线的标准方程，考查双曲线的定义域性质，考查学生的计算能力，属于中档题．