Question

(本小题满分15分)

如图，在直角坐标系中，中心在原点，焦点在X轴上的椭圆G的离心率为，左顶点A（-4,0），圆：是椭圆G的内接的内切圆.

(Ⅰ) 求椭圆G的方程；

(Ⅱ) 求圆的半径r；

（Ⅲ）过作圆G的两条切线交椭圆于E,F两点，判断直线EF与圆的位置关系，并证明.

 

Answer 1

解： (Ⅰ) ，得，椭圆G方程为 -----------------------5分

(Ⅱ)设，过圆心作于,交长轴于

由得,即                   (1)---------------------------7分

而点在椭圆上,      (2)-------------9分

由(1)、 (2)式得,解得或（舍去）-------------------------------------------11分

(2) 直线与圆的相切

设过点与圆相切的直线方程为:             (3)

则,即            (4)

解得

将(3)代入得,则异于零的解为----------------------13分

设,，则

则直线的斜率为：

于是直线的方程为:   即

则圆心到直线的距离            故结论成立.  ---------------------------------------------15分