Question

【题目】已知函数f（x）=lnx﹣a2x2+ax（a∈R）．
（1）当a=1时，求函数f（x）最大值；
（2）若函数f（x）在区间（1，+∞）上是减函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：当a=1时，f（x）=lnx﹣x2+x，其定义域是（0，+∞），

∴

令f'（x）=0，即 ，解得 或x=1．

∵x＞0，∴ 舍去．

当0＜x＜1时，f'（x）＞0；当x＞1时，f'（x）＜0．

∴函数f（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减

∴当x=1时，函数f（x）取得最大值，其值为f（1）=ln1﹣12+1=0

（2）解：法一：因为f（x）=lnx﹣a2x2+ax其定义域为（0，+∞），

所以

①当a=0时， ，

∴f（x）在区间（0，+∞）上为增函数，不合题意

②当a＞0时，f'（x）＜0（x＞0）等价于（2ax+1）（ax﹣1）＞0（x＞0），即 ．

此时f（x）的单调递减区间为 ．

依题意，得 解之得a≥1．

③当a＜0时，f'（x）＜0（x＞0）等价于（2ax+1）（ax﹣1）＞0（x＞0），即

此时f（x）的单调递减区间为 ，

∴ 得

综上，实数a的取值范围是 法二：∵f（x）=lnx﹣a2x2+ax，x∈（0，+∞）

∴

由f（x）在区间（1，+∞）上是减函数，可得﹣2a2x2+ax+1≤0在区间（1，+∞）上恒成立．①当a=0时，1≤0不合题意②当a≠0时，可得 即

∴

∴

【解析】（1）把a=1代入函数，利用导数判断出函数的单调性，进而可求出函数f（x）最大值；（2）对参数a进行讨论，然后利用导数f′（x）≤0（注意函数的定义域）来解答，方法一是先解得单调减区间A，再与已知条件中的减区间（1，+∞）比较，即只需要（1，+∞）A即可解答参数的取值范围；方法二是要使函数f（x）在区间（1，+∞）上是减函数，我们可以转化为f′（x）≤0在区间（1，+∞）上恒成立的问题来求解，然后利用二次函数的单调区间于对称轴的关系来解答也可达到目标．
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能正确解答此题．