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已知圆x2y2-2x-4ym=0.

(1)此方程表示圆,求m的取值范围;

(2)若(1)中的圆与直线x+2y-4=0相交于MN两点,且OMON(O为坐标原点),求m的值;

(3)在(2)的条件下,求以MN为直径的圆的方程.

解:(1)方程x2y2-2x-4ym=0,可化为

(x-1)2+(y-2)2=5-m

∵此方程表示圆,

∴5-m>0,即m<5.

(2)

消去x得(4-2y)2y2-2×(4-2y)-4ym=0,

化简得5y2-16ym+8=0.

M(x1y1),N(x2y2),则

OMONy1y2x1x2=0

y1y2+(4-2y1)(4-2y2)=0,

∴16-8(y1y2)+5y1y2=0.

将①②两式代入上式得

16-8×+5×=0,

解之得m.

(3)由m,代入5y2-16ym+8=0,

化简整理得25y2-80y+48=0,解得y1y2.

x1=4-2y1=-x2=4-2y2.

MN

MN的中点C的坐标为.

又|MN|=

∴所求圆的半径为.

∴所求圆的方程为22.

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