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已知定义域为R(实数集)的函数,f(x)中,f(0)=1
且当n-1≤x<n(n∈Z)时,f(x)=(x-n)•f(n-1)+f(n)
(Ⅰ)求f(2)的值及当x∈[3,4)时,f(x)的表达式;
(Ⅱ)判断函数f(x)的单调性,并说明理由;
(Ⅲ)“定义:设g(x)为定义在D上的函数,若存在正数M,对任意x∈D都有|g(x)|≤M,则称函数g(x)为D上有界函数;否则,称函数g(x)为D上无界函数.”试证明f(x)为R上无界函数.
分析:(Ⅰ)令x=0,求出f(1)的值,进而得出f(2)的值;令x=n,得出2f(n)=f(n+1),进而求出当n∈N+时,f(n)=2n,当n∈N-时,f(n)=2n,即可求出f(x)的表达式.
(Ⅱ)取两个实数x1,x2,设x1<x2,①若n-1≤x1<x2<n,则f(x1)-f(x2)=2n-1(x1-x2)<0;若n1-1则x1<n1n-1<x2<n,f(x2)≥f(n1f(x1)=f(n1-1)(x1-n1)+f(n1)=2n1-1(x1-n1)+f(n1)<f(n1)≤f(x2),即可得出结果.
(Ⅲ)对任意M>0,取M0>M,且log2M0∈Z,记x0=log2M0,则:f(x0)=2log2M0=M0>M,即可得出结论.
解答:解:(Ⅰ)由题意得f(0)=(0-1)f(0)+f(1),
∵f(0)=1∴f(1)=2
同理得:∴f(2)=4(2分)
又对任意n∈Z,f(n)=(n-n-1)f(n)+f(n+1)
即  2f(n)=f(n+1)(4分)
当n∈N+时,f(n)=2f(n-1)=22f(n-2)=…=2nf(0)=2n
当n∈N-时,f(0)=2f(-1)=22f(-2)=…=2-nf(n),
即  f(n)=2n.    (7分)
综上可得:f(n)=2n(n∈Z)
当x∈[3,4)时,f(x)=f(3)(x-4)+f(4)=8x-16(8分)
(Ⅱ)f(x)是定义域上的增函数.
任意取两个实数x1,x2,设x1<x2
①若n-1≤x1<x2<n,则f(x1)-f(x2)=f(n-1)(x1-n)+f(n)-f(n-1)(x2-n)-f(n)
=f(n-1)(x1-x2)=2n-1(x1-x2)<0(12分)
②若n1-1则x1<n1n-1<x2<n,
依①可得  f(x2)…f(n-1)
事实上  f(n-1)=2n-1f(n1)=2n1,∵n1,n-1
∴f(n1),f(n-1)∴f(x2)≥f(n1f(x1)=f(n1-1)(x1-n1)+f(n1)=2n1-1(x1-n1)+f(n1)<f(n1)≤f(x2)
综上所述:f(x1)<f(x2)(16分)
所以,f(x)是定义域上的增函数.
(Ⅲ)对任意M>0,取M0>M,且log2M0∈Z,
记x0=log2M0
则:f(x0)=f(log2M0)=2log2M0=M0>M
所以  f(x)为R上无界函数.      (20分)
点评:本题考查了函数单调性的判断和证明以及函数的恒成立问题,此题的难度较大,要认真审题,仔细作答.
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x3
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