Question

18．如图，正方形ABCD与梯形AMPD所在的平面互相垂直，AD⊥PD，MA∥PD，MA=AD=$\frac{1}{2}$PD=1．
（1）求证：MB∥平面PDC；
（2）求二面角M-PC-D的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推导出AB∥CD，MA∥PD，从而平面ABM∥平面PDC，由此能证明MB∥平面PDC．
（2）推导出CD⊥PD，AD⊥PD，AD⊥DC，以DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角M-PC-D的余弦值．

解答 （本小题满分12分）
证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，
又∵MA∥PD，…（1分）
AB∩MA=A，CD∩PD=D，
AB?平面ABM，MA?平面ABM，CD?平面PDC，PD?平面PDC，
∴平面ABM∥平面PDC，（3分）
∵MB?平面ABM，
∴MB∥平面PDC．（4分）
解：（2）∵正方形ABCD与梯形AMPD所在的平面互相垂直，
平面ABCD∩平面AMPD=AD，在正方形ABCD中，CD⊥AD，
∴CD⊥平面AMPD，∴CD⊥PD．（6分）
又AD⊥PD，AD⊥DC，
以DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴建立空间直角坐标系，（7分）
则M（1，0，1），P（0，0，2），C（0，1，0），
$\overrightarrow{DA}=（1，0，0）$是平面PCD的一个法向量
设平面MPC的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PM}=x-z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CM}=x-y+z=0}\end{array}\right.$，（9分）
令z=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，2，1），（10分）
则cos＜$\overrightarrow{DA}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{DA}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{DA}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{6}$，（11分）
设二面角M-PC-D为θ，由图可知θ为锐角，
所以二面角M-PC-D的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{6}$．（12分）

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．