Question

若函数f（x）=log_a（x³-ax）（a＞0且a≠1）在区间（-

1

4

，0）内单调递增，则实数a的取值范围是（　　）

• A、[

  2

  3

  ，1）
• B、[

  3

  16

  ，1）
• C、[

  3

  16

  ，1）∪（1，3]
• D、（1，3]

Answer 1

考点：对数函数的单调性与特殊点,复合函数的单调性

专题：函数的性质及应用

分析：将函数看作是复合函数令g（x）=x³-ax，且g（x）＞0，求出函数的定义域，因为函数是高次函数，所以用导数来判断其单调性，由复合函数“同增异减”求得结果．

解答： 解：令g（x）=x³-ax，则g（x）＞0．得到 x∈（-

a

，0）∪（

a

，+∞），
由于g′（x）=3x²-a，故x∈（-

a 3

，0）时，g（x）单调递减，?
x∈（-

a

，-

a 3

）或x∈（

a

，+∞）时，g（x）单调递增．?
∴当a＞1时，函数f（x）减区间为（-

a 3

，0），不合题意，
当0＜a＜1时，函数f（x）的增区间为（-

a 3

，0），
∴（-

1

4

，0）⊆（-

a 3

，0），
则-

1

4

≥-

a 3

，解得a≥

3

16

，
综上，a∈[

3

16

，1）．
故选：B．

点评：本题主要考查复合函数的单调性，结论是同增异减，解题时一定要注意定义域，属于中档题．