Question

已知x=3是函数f（x）=alnx+x²-10x的一个极值点．
（1）求实数a；
（2）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）由于x=3是函数f（x）=alnx+x²-10x的一个极值点，可得f′（3）=0，解出并验证即可．
（2）由（1）可得f′（x）=

2(x-2)(x-3)

x

（x＞0），分别解出f′（x）＞0，f′（x）＜0，即可得出单调区间．

解答： 解：（1）f′（x）=

a

x

+2x-10（x＞0）．
∵x=3是函数f（x）=alnx+x²-10x的一个极值点，
∴f′（3）=

a

3

+6-10=0，解得a=12．
∴f（x）=12lnx+x²-10x，
经过验证a=12满足条件．
（2）由（1）可得f′（x）=

12

x

+2x-10=

2(x-2)(x-3)

x

，
令f′（x）＞0，解得x＞3或0＜x＜2；令f′（x）＜0，解得2＜x＜3．
∴函数f（x）的单调递增区间为（0，2），[3，+∞），单调递减区间为[2，3）．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．