Question

三棱锥P—ABC中，侧面PAC与底面ABC垂直，PA=PB=PC=3.

（1）求证:AB⊥BC；

（2）如果AB=BC=2，求侧面PBC与侧面PAC所成二面角的大小.

Answer 1

（1）证明:取AC中点D，连结PD、BD.

    因为PA=PC，所以PD⊥AC.

    又已知面PAC⊥面ABC，

    所以PD⊥面ABC，D为垂足.

    因为PA=PB=PC，

    所以DA=DB=DC.可知AC为△ABC外接圆直径，

    因此AB⊥BC.

（2）解:因为AB=BC，D为AC中点，所以BD⊥AC.

    又面PAC⊥面ABC，

    所以BD⊥平面PAC，D为垂足.

    作BE⊥PC于点E，连结DE，

    因为DE为BE在平面PAC内的射影，

    所以DE⊥PC，即∠BED为所求二面角的平面角.

    在Rt△ABC中，AB=BC=2，

    所以BD=.

    在Rt△PDC中，PC=3，DC=，PD=，

    所以DE=.

    因此，在Rt△BDE中，tan∠BED=,∴∠BED=60°.

∴侧面PBC与侧面PAC所成的二面角为60°.