Question

在△ABC中,已知B(－2,0)、C(2,0),AD⊥BC于点D,△ABC的垂心为H,且=.

(1)求点H(x,y)的轨迹G的方程；
(2)已知P(－1,0)、Q(1,0),M是曲线G上的一点,那么,,能成等差数列吗?若能,求出M点的坐标；若不能,请说明理由.

Answer 1

(1) G的方程为+=1(y≠0).(2)见解析

(1)∵H点坐标为(x,y),则D点坐标为(x,0),
由定比分点坐标公式可知,A点的坐标为(x,y).
∴=(x+2,y),=(x－2,y).
由BH⊥CA知x²－4+y²=0,即+ =1,
∴G的方程为+=1(y≠0).
(2)解法一:显然P、Q恰好为G的两个焦点,
∴||+||=4,||=2.
若,,成等差数列,则+==1.
∴||·||="|" |+||=4.
由可得||=||=2,
∴M点为+=1的短轴端点.
∴当M点的坐标为(0, )或(0,－)时,,,成等差数列.
解法二:设M点的坐标为(x,y),
显然P、Q恰好为+ =1的两个焦点,
∴||+||="4,|" |=2.
∵,,成等差数列,
∴+==1.
由椭圆第二定义可得||=a+ex,||=a－ex,
∴+=1.解得x=0.
∴M点的坐标为(0, )或(0,－).
∴当M点的坐标为(0, )或(0,－)时,,,成等差数列.