Question

已知函数定义域为(),设.

(Ⅰ)试确定的取值范围,使得函数在上为单调函数；

(Ⅱ)求证:；

(Ⅲ)求证:对于任意的,总存在,满足,并确定这样的的个数.

Answer 1

，且当时,有唯一的适合题意；当时,有两个适合题意

解析:

【解】 (Ⅰ)解:因为…………………………(2分)

由；由,所以在上递增,

在上递减 …………………………………………………………………(4分)

欲在上为单调函数,则……………………………(5分)

(Ⅱ)证:因为在上递增,在上递减,所以在处取得极小值(7分)

 又,所以在上的最小值为 …………………………(9分)

 从而当时,,即………………………(10分)

(Ⅲ)证:因为,所以即为,

   令,从而问题转化为证明方程=0

在上有解,并讨论解的个数…………………………………………(12分)

   因为,,所以

   ①当时,,所以在上有解,且只有一解 …(13分)

②当时,,但由于,

所以在上有解,且有两解 …………………………………(14分)

③当时,,所以在上有且只有一解；

当时,,

所以在上也有且只有一解………………………………(15分)

综上所述, 对于任意的,总存在,满足,

且当时,有唯一的适合题意；当时,有两个适合题意……(16分)

(说明:第(Ⅱ)题也可以令,,然后分情况证明在其值域内,并讨论直线与函数的图象的交点个数即可得到相应的的个数)

w.w.w.k.s.5.u.c.o.