Question

给出下列四个命题：①函数f(x)=3sin(2x-

π

3

)的图象关于点(-

π

6

，0)对称；②若a≥b＞-1，则

a

1+a

≥

b

1+b

；③存在实数x，使x³+x²+1=0；④设P（x₁，y₁）为圆O₁：x²+y²=9上任意一点，圆O₂：（x-a）²+（y-b）²=1，当（x₁-a）²+（y₁-b）²=1时，两圆相切．其中正确命题的序号是

 

．（把你认为正确的都填上）

Answer 1

分析：①把x=-

π

6

，代入函数函数f(x)=3sin(2x-

π

3

)是否为0，即可判断函数的图象关于点(-

π

6

，0)对称的正误；
②若a≥b＞-1，证明

a

1+a

≥

b

1+b

，说明②的正误；
③存在实数x，使x³+x²+1=0，找出一个值即可；
④找出反例即可判断设P（x₁，y₁）为圆O₁：x²+y²=9上任意一点，圆O₂：（x-a）²+（y-b）²=1，当（x₁-a）²+（y₁-b）²=1时，两圆相切的正误．

解答：解：①把x=-

π

6

，代入函数f(x)=3sin[2× (-

π

6

)-

π

3

]≠0，函数的图象关于点(-

π

6

，0)对称的，不正确；
②若a≥b＞-1，所以1+a＞0，1+b＞0，a+ab≥b+ab，则

a

1+a

≥

b

1+b

，正确；
③存在实数x，使x³+x²+1=0；当x=-2时x³+x²+1＜0，x=0，x³+x²+1＞0，所以正确；
④设P（x₁，y₁）为圆O₁：x²+y²=9上任意一点，圆O₂：（x-a）²+（y-b）²=1，当（x₁-a）²+（y₁-b）²=1时，两圆相切．如果两圆相交也满足题意，注意不正确．
故答案为：②③

点评：本题是基础题，考查三角函数的对称性，不等式的应用，方程的根，圆的方程的应用，考查发现问题解决问题的能力．