Question

知函数f（x）=lnx-a²x²+ax（a∈R）。
（1）若函数f（x）在区间（1，+∞）上是单调减函数，求实数a的取值范围；
（2）讨论f（x）的极值。

Answer 1

解：（1）：①当a=0时，，
∴f（x）在区间（1，+∞）上为增函数，不合题意；
②当a≠0时，要使函数f（x）在区间上（1，+∞）是减函数，只需在区间（1，+∞）上恒成立，
∵x>0，
∴只要成立，
∴
解得或，
综上，实数a的以值范围是；
（2）函数的定义域为（0，+∞），
∴，
①当a=0时，，
∴f（x）的增区间为（0，+∞），此时f（x）无极值；
②当a>0时，令，得或（舍去），
∴f（x）的增区间为，减区间为，
所以此时f（x）有极大值为，无极小值；
③当a<0时，令，得（舍去）或，
∴f（x）的增区间为，减区间为。