Question

已知函数f（x）=ln（e^x+a）（a为常数）是R上的奇函数，函数g（x）=λf（x）+sinx是区间[-1，1]上的减函数．
（1）求a的值；
（2）若g（x）＜t²+λt+1在x∈[-1，1]上恒成立，求t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由奇函数的定义可知f（-x）=-f（x），代入可求a
（2）由（I）可求f（x），g（x），由已知可得g'（x）≤0，分离系数可得λ≤-1，则（t+1）λ+t²+sin+1＞0（其中λ≤-1）恒成立，令h（λ）=（t+1）λ+t²+sin1+1＞0（λ≤-1），则

t+1＜0 -t-1+t2+sin1+1＞0

，解不等式可求

解答：解：（1）∵f（x）=ln（e^x+a）是奇函数，
∴ln（e^-x+a）=-ln（e^x+a）
∴（e^-x+a）（e^x+a）=1，
∴1+ae^-x+ae^x+a²=1，
∴a（e^x+e^-x+a）=0，故a=0..…（4分）
（2）由（I）知：f（x）=x，
∴g（x）=λx+sinx，
∵g（x）在[-1，1]上单调递减，
∴g'（x）=λ+cosx≤0
∴λ≤-cosx在[-1，1]上恒成立，
∴λ≤-1
∵g（x）=λx+sinx＜t²+λt+1在x∈[-1，1]上恒成立
∴

t+1＜0 -t-1+t2+sin1+1＞0

，
∴（t+1）λ+t²+sin1+1＞0（其中λ≤-1）恒成立，…（8分）
令h（λ）=（t+1）λ+t²+sin1+1＞0（λ≤-1），
则

t+1＜0 -t-1+t2+sin1+1＞0

∴

t＜-1 t2-t+sin1＞0

，而t2-t+sin1＞0恒成立，
∴t＜-1…（12分）

点评：本题主要考查了利用奇函数的定义求解参数，及利用导数知识研究函数的单调性、函数的恒成立问题的求解，本题具有一定的综合性