Question

已知f(x)= 3 sin(2x- π 6 )+2sin2(x- π 12 )，(x∈R). (1)求f(x)的最小正周期；(2)当f( x0 2 )= 5 3 ，且 5π 6 ＜x0＜ 4π 3 ，求cosx0的值

．

Answer 1

分析：（1）利用倍角公式和两角和的正弦公式及周期公式即可得出；
（2）利用（1）及已知可得sin(x0-

π

3

)，及x0-

π

3

的范围，进而利用拆分角x0=x0-

π

3

+

π

3

即可得出．

解答：解：（1）f（x）=

3

sin(2x-

π

6

)+1-cos(2x-

π

6

)
=2sin(2x-

π

3

)+1，
∴T=

2π

π

=2．
（2）∵f(

x0

2

)=

5

3

，∴2sin((x0-

π

3

)+1=

5

3

，
∴sin(x0-

π

3

)=

1

3

．又

5π

6

＜x0＜

4π

3

．
∴

π

2

＜x0-

π

3

＜π，
∴cos(x0-

π

3

)=-

2 2

3

．
∴cosx0=cos[(x0-

π

3

)+

π

3

]
=cos(x0-

π

3

)cos

π

3

-sin(x0-

π

3

)sin

π

3

=-

2 2

3

×

1

2

-

1

3

×

3

2

=-

2 2 + 3

6

．

点评：熟练掌握倍角公式和两角和的正弦余弦公式及周期公式、拆分角是解题的关键．