Question

（2008•湖北模拟）已知f(x)=3sinωxcosωx-

3

cos2ωx+2sin2(ωx-

π

12

)+

3

12

(ω＞0)．
（1）求函数f（x）值域；
（2）若对任意的a∈R，函数y=f（x）在（a，a+π]上的图象与y=1有且仅有两个不同的交点，试确定ω的值（不必证明）并写出该函数在[0，π]上的单调区间．

Answer 1

分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简f（x）的解析式为2sin(2ωx-

π

3

)+1，由正弦函数的值域从而得到f（x）值域．
（2）由题意可得f（x）周期为π，求出ω=1，从而得到f(x)=2sin(2x-

π

3

)+1，由此写出函数在[0，π]上的单调区间．

解答：解：（1）f（x）=

3

2

sin2ωx-

3

2

(2cos2ωx-1)+1-cos(2ωx-

π

6

) 
=

3

(

3

2

sin2ωx-

1

2

cos2ωx)-cos(2ωx-

π

6

)+1
=

3

sin(2ωx-

π

6

)-cos(2ωx-

π

6

)+1  （2分）
=2[

3

2

sin(2ωx-

π

6

)-

1

2

cos(2ωx-

π

6

)]+1
=2sin(2ωx-

π

3

)+1． （6分）
∴f（x）值域为[-1，3]．
（2）由题意可得 f（x）周期为π，∴ω=1．（8分）   故 f(x)=2sin(2x-

π

3

)+1，
故 f（x）在[0，

5

12

π]、[

11

12

π，π]上单调递增，在[

5

12

π，

11

12

π]上单调递减．（12分）

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的值域和单调性，化简函数f（x）的解析式为2sin(2ωx-

π

3

)+1，是解题的关键．