Question

13．已知函数f（x）=-x²+3x•|x-a|，其中a＞0．
（1）当a=2时，求函数在x∈（-1，6）上的值域；
（2）若函数在x∈（-1，6）上既有最大值又有最小值，求a的范围．

Answer 1

分析 （1）当a=2时，f（x）=-x²+3x•|x-2|=$\left\{\begin{array}{l}{-4{x}^{2}+6x，x∈（-1，2]}\\{2{x}^{2}-6x，x∈（2，6）}\end{array}\right.$，从而确定函数的单调性，从而求值域；
（2）由（1）知，0＜a＜6，化简f（x）=-x²+3x•|x-a|=$\left\{\begin{array}{l}{-4{x}^{2}+3ax，x∈（-1，a]}\\{2{x}^{2}-3ax，x∈（a，6）}\end{array}\right.$；从而确定函数的单调性，从而可得$\left\{\begin{array}{l}{-{a}^{2}≤-4-3a}\\{\frac{9{a}^{2}}{16}≥72-18a}\end{array}\right.$，从而解得．

解答 解：（1）当a=2时，
f（x）=-x²+3x•|x-2|=$\left\{\begin{array}{l}{-4{x}^{2}+6x，x∈（-1，2]}\\{2{x}^{2}-6x，x∈（2，6）}\end{array}\right.$，
由二次函数的性质可知，
f（x）在（-1，$\frac{3}{4}$）上是增函数，在[$\frac{3}{4}$，2）上是减函数，
在[2，6）上是增函数；
而f（-1）=-4-6=-10，f（$\frac{3}{4}$）=$\frac{9}{4}$，f（2）=-4，f（6）=36；
故函数在（-1，6）上的值域为（-10，36）；
（2）由（1）知，0＜a＜6，
f（x）=-x²+3x•|x-a|=$\left\{\begin{array}{l}{-4{x}^{2}+3ax，x∈（-1，a]}\\{2{x}^{2}-3ax，x∈（a，6）}\end{array}\right.$；
由二次函数的性质可知，
f（x）在（-1，$\frac{3a}{8}$）上是增函数，在[$\frac{3a}{8}$，a）上是减函数，
在[a，6）上是增函数；
其中f（-1）=-4-3a，f（$\frac{3a}{8}$）=$\frac{9{a}^{2}}{16}$，f（a）=-a²，f（6）=72-18a；
故若函数在x∈（-1，6）上既有最大值又有最小值，
则$\left\{\begin{array}{l}{-{a}^{2}≤-4-3a}\\{\frac{9{a}^{2}}{16}≥72-18a}\end{array}\right.$，
解得，4≤a＜6．

点评 本题考查了绝对值函数的应用及分段函数的应用，同时考查了分类讨论的思想应用．