Question

1．（1）判断函数$f（x）=lnx-\frac{2}{x}$的零点个数；
（2）函数$g（x）=\frac{2}{x}+lnx+x-2-b（b∈R）$．在区间[e^-1，e]上有两个零点，求实数b的取值范围；
（3）完成填空

	用方程表述	用函数零点表述
若函数y=f（x）和y=g（x）的图象在（a，b）内有交点

Answer 1

分析 （1）易知函数$f（x）=lnx-\frac{2}{x}$在其定义域上单调递增且连续，从而确定个数；
（2）求导g′（x）=$\frac{{x}^{2}+x-2}{{x}^{2}}$=$\frac{（x+2）（x-1）}{{x}^{2}}$，从而判断函数的单调性，从而可得$\left\{\begin{array}{l}{g（1）=2+0+1-2-b＜0}\\{g（{e}^{-1}）=2e-1+\frac{1}{e}-2-b≥0}\\{g（e）=\frac{2}{e}+1+e-2-b≥0}\end{array}\right.$，从而解得；
（3）由题意得方程f（x）=g（x）在（a，b）内有解，函数y=f（x）-g（x在（a，b）内有零点．

解答 解：（1）易知函数$f（x）=lnx-\frac{2}{x}$在其定义域上单调递增，
且函数$f（x）=lnx-\frac{2}{x}$在其定义域上连续，
而f（1）=0-2＜0，f（e）=1-$\frac{2}{e}$＞0，
故f（x）在（1，e）上有一个零点；
故函数$f（x）=lnx-\frac{2}{x}$的零点个数为1；
（2）∵g（x）=$\frac{2}{x}$+lnx+x-2-b，
∴g′（x）=$\frac{{x}^{2}+x-2}{{x}^{2}}$=$\frac{（x+2）（x-1）}{{x}^{2}}$，
∴g（x）在[e^-1，1]上是减函数，在（1，e]上是增函数；
∵在区间[e^-1，e]上有两个零点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{g（1）=2+0+1-2-b＜0}\\{g（{e}^{-1}）=2e-1+\frac{1}{e}-2-b≥0}\\{g（e）=\frac{2}{e}+1+e-2-b≥0}\end{array}\right.$，
解得，$1＜b≤\frac{2}{e}+e-1$；
（3）由题意得，
用方程表述：方程f（x）=g（x）在（a，b）内有解，
用函数零点表述：函数y=f（x）-g（x在（a，b）内有零点．

点评 本题考查了导数的综合应用及函数的零点的判定定理的应用．