Question

20．已知向量$\overrightarrow a$=（cos（x+$\frac{π}{8}$），sin²（x+$\frac{π}{8}$）），$\overrightarrow b$=（sin（x+$\frac{π}{8}$），1），函数f（x）=1-2$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$．
（1）求f（x）的解析式和最小正周期；
（2）求f（x）的单调递减区间；
（3）若方程f（x）+2m=0在[$\frac{π}{4}$，$\frac{7π}{8}$]有两个实根，试求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据数量积的运算、二倍角公式和两角和与差的正弦、余弦公式化简f（x）的解析式，根据余弦函数的图象与性质求函数的周期；
（2）根据余弦函数的单调减区间，解不等式确定函数f（x）的单调减区间；
（3）由题意可得cos2x=-$\sqrt{2}$m在[$\frac{π}{4}$，$\frac{7π}{8}$]有两个实根，由余弦函数的图象和性质，可得-1＜-$\sqrt{2}$m≤0，解不等式即可得到m的范围．

解答 解：（1）由题意得，f（x）=1-2$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$
=1-2[cos（x+$\frac{π}{8}$）sin（x+$\frac{π}{8}$）+sin²（x+$\frac{π}{8}$）]
=1-2cos（x+$\frac{π}{8}$）sin（x+$\frac{π}{8}$）-2sin²（x+$\frac{π}{8}$）
=sin（2x+$\frac{π}{4}$）+cos（2x+$\frac{π}{4}$）
=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$cos2x，
最小正周期为T=$\frac{2π}{2}$=π；
（2）由2kπ≤2x≤2kπ+π，解得kπ≤x≤kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
则函数f（x）的单调递减区间是：[kπ，kπ+$\frac{π}{2}$]，k∈Z；
（3）方程f（x）+2m=0在[$\frac{π}{4}$，$\frac{7π}{8}$]有两个实根，
即为cos2x=-$\sqrt{2}$m在[$\frac{π}{4}$，$\frac{7π}{8}$]有两个实根，
由t=2x∈[$\frac{π}{2}$，$\frac{7π}{4}$]，y=cost在[$\frac{π}{2}$，π]递减，在[π，$\frac{7π}{4}$]递增，
即有y=cos2t的最小值为-1，最大值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即有-1＜-$\sqrt{2}$m≤0，解得0≤m＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故实数m的取值范围是[0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．

点评 本题考查数量积的运算，三角函数恒等变换公式的应用，余弦函数图象与性质，解题过程中注意运用整体的思想来解决三角函数问题．