Question

【题目】已知直线m：2x﹣y﹣3=0与直线n：x+y﹣3=0的交点为P．
（1）若直线l过点P，且点A（1，3）和点B（3，2）到直线l的距离相等，求直线l的方程；
（2）若直线l1过点P且与x，y正半轴交于A、B两点，△ABO的面积为4，求直线l1的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：由 的交点为（2，1），

由直线l与A，B的距离相等可知，l∥AB或l过AB的中点，

∴由l∥AB得l的方程为 ，即x+2y﹣4=0，

由l过AB的中点得l的方程为x=2，

故x+2y﹣4=0或x=2为所求

（2）解：方法一：由题可知，直线l1的斜率k存在，且k＜0．

则直线l1的方程为y=k（x﹣2）+1=kx﹣2k+1．

令x=0，得y=1﹣2k＞0，

令y=0，得 ，

∴ ，解得 ，

故l1的方程为 ．

方法二：由题可知，直线l1的横、纵截距a、b存在，且a＞0、b＞0，则 ，又l1过点（2，1），△ABO的面积为4，

∴ ，解得 ，故l1方程为 ，即

【解析】（1）由直线m，n联立可得交点，由直线l与A，B的距离相等可知，l∥AB或l过AB的中点．（2）方法一：由题可知，直线l1的斜率k存在，且k＜0．则直线l1的方程为y=k（x﹣2）+1=kx﹣2k+1．分别求出直线的截距，即可得出．
方法二：由题可知，直线l1的横、纵截距a、b存在，且a＞0、b＞0，则 ，又l1过点（2，1），△ABO的面积为4，可得 ，解出即可得出．
【考点精析】解答此题的关键在于理解点到直线的距离公式的相关知识，掌握点到直线的距离为：．