Question

在如图所示的多面体中，⊥平面， ，，，，，，是的中点．

（1）求证：；

（2）求二面角的平面角的余弦值.  

Answer 1

 解：（1） 解法1

证明：∵平面，平面，

∴，                                  

又，平面，

∴平面.    

过作交于，则平面.

∵平面，

∴.           

∵，∴四边形平行四边形，

∴，

∴，又，

∴四边形为正方形，

∴，                                       

又平面，平面,

∴⊥平面.                            

∵平面,

∴.                           

（2）∵平面，平面

∴平面⊥平面

由（1）可知

∴⊥平面

∵平面

∴                            

取的中点，连结，

∵四边形是正方形，

∴

∵平面，平面

∴⊥平面

∴⊥

∴是二面角的平面角，    

由计算得

∴        

∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为.

解法2

∵平面，平面，平面，

∴，，

又,

∴两两垂直. 

以点E为坐标原点，分别为轴

建立如图所示的空间直角坐标系.

由已知得，（0，0，2），（2，0，0），

（2，4，0），（0，3，0），（0，2，2），

（2，2，0）.  

∴，，

∴,    

∴.   

（2）由已知得是平面的法向量.      

设平面的法向量为，

∵，

∴，即，令,得. 

设平面与平面所成锐二面角的大小为，

则  

∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为.