Question

（2010•广州模拟）已知函数f(x)=cos(3x+

π

2

 )(x∈R)，给出如下结论：
①函数f（x）的最小正周期为

2π

3

；  ②函数f（x）是奇函数；  ③函数f（x）的图象关于点(

π

3

，0)对称；④函数f（x）在区间[0，

π

3

]上是减函数．
其中正确命题的序号是

①②③

．（写出所有正确命题的序号）

Answer 1

分析：求出函数的周期判断①的正误；
利用函数的奇偶性判断②的正误；
把x=

π

3

代入函数求出函数的值是否为0，判断③的正误；
求出函数的单调减区间判断④的正误．

解答：解：因为函数f(x)=cos(3x+

π

2

 )(x∈R)，
所以函数的周期是T=

2π

3

，所以①正确；
因为函数f(x)=cos(3x+

π

2

 )(x∈R)，
所以f(x)=cos(3x+

π

2

)=-sin3x，
f（-x）=-sin（-3x）=sin3x=-f（x），
函数是奇函数，②正确；
当x=

π

3

时，f（

π

3

）=-sin（3×

π

3

）=-sinπ=0，
函数所以函数的图象关于点(

π

3

，0)对称，正确；
因为f（x）=-sin3x，3x∈[-

π

2

，

π

2

]，即x∈[-

π

6

，

π

6

]时，函数是减函数，
所以函数f（x）在区间[0，

π

3

]上是减函数不正确．
故答案为：①②③．

点评：本题是基础题，考查三角函数的基本性质，函数的单调性、奇偶性、周期性，考查计算能力，基本知识的灵活运用能力．