Question

8．在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，那么$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}$=4；若E为线段AC上的动点，则$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BE}$的取值范围是[-4，1]．

Answer 1

分析 利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义，求得$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BE}$=$\overrightarrow{AC}$•（$\overrightarrow{AE}$-$\overrightarrow{AB}$）=$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AE}$-4，求得$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AE}$的范围，可得$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BE}$的取值范围．

解答 解：在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，则cos∠CAB=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，那么$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}$=AC•AB•cos∠CAB=$\sqrt{5}$•2•$\frac{2}{\sqrt{5}}$=4；
若E为线段AC上的动点，则$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BE}$=$\overrightarrow{AC}$•（$\overrightarrow{AE}$-$\overrightarrow{AB}$）=$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AE}$-$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AE}$-4；
当点E和点A重合时，$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AE}$取得最小值为0，当点E和点C重合时，$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AE}$取得最大值为$\sqrt{5}•\sqrt{5}$=5，
故$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BE}$的取值范围是[-4，1]，
故答案为：4；[-4，1]．

点评 本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义，属于基础题．