Question

已知a_n=2ⁿ+3ⁿ，b_n=a_n+1+ka_n，若{b_n}是等比数列，则k=________．

Answer 1

-2或-3
分析：利用等比中项的性质可推断出（a_n+1+ka_n）²=（a_n+2+ka_n+1）（a_n+ka_n-1），整理后求得k的值．
解答：因为{b_n} 是等比数列，故有
（a_n+1+ka_n）²=（a_n+2+ka_n+1）（a_n+ka_n-1），
将a_n=2ⁿ+3ⁿ代入上式，得
[2ⁿ⁺¹+3^n+1_+k（2ⁿ+3ⁿ）]²
=[2ⁿ⁺²+3^n+2_+k（2ⁿ⁺¹+3ⁿ⁺¹）]•[2ⁿ+3^n_+k（2^n-1+3^n-1）]，
即[（2+k）2ⁿ+（3+k）3ⁿ]²
=[（2+k）2ⁿ⁺¹+（3+k）3ⁿ⁺¹][（2+k）2^n-1+（3+k）3^n-1]，
整理得 （2+k）（3+k）•2ⁿ•3ⁿ=0，
解k-=2或k=-3．
故答案为：-2或-3
点评：小题主要考查等比数列的概念和基本性质，推理和运算能力．