Question

已知数列{a_n}的各项为正数，其前n项和sn满足sn=(

an+1

2

)2，b_n=10-a_n（n∈N）
（1）求证：数列{a_n}是等差数列，并求{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}的前n项和为T_n，求T_n的最大值．

Answer 1

分析：（1）当n=1时，易求a₁=1；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1⇒a_n-a_n-1=2，从而可知数列{a_n}是首项为1，公差为2的等差数列，从而可求{a_n}的通项公式；
（2）由（1）知a_n=2n-1，而b_n=10-a_n，可求b_n=-2n+11，利用等差数列的求和公式即可求得T_n，即可求T_n的最大值．

解答：解：（1）当n=1时，a₁=S₁=(

a1+1

2

)2，
∴a₁=1；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=(

an+1

2

)2-(

an-1+1

2

)2，
即：an2-an-12-2a_n-2a_n-1=0，
∴an2-2a_n+1=an-12+2a_n-1+1，
∴(an-1)2=(an-1+1)2，
∴a_n-1=a_n-1+1，
∴a_n-a_n-1=2，
∴数列{a_n}是首项为1，公差为2的等差数列，
∴a_n=2n-1．
（2）∵b_n=10-a_n=-2n+11，b₁=9，
∴b_n-b_n-1=-2，
∴数列{b_n}是首项为9，公差为-2的等差数列，
∴T_n=

n(b1+bn)

2

=-n²+10n=-（n-5）²+25，
∴当n=5时，T_nmax=25．

点评：本题考查数列的求和，着重考查等差关系的确定及其通项公式、求和公式的应用，考查推理与运算能力，属于中档题．