Question

椭圆的对称中心在坐标原点，一个顶点为A（0，2），右焦点F与点的距离为2．
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在斜率k≠0的直线l：y=kx-2，使直线l与椭圆相交于不同的两点M，N满足，若存在，求直线l的倾斜角α；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）设出椭圆的标准方程，由题意得b=2，再由a、b、c之间的关系及|FB|=2，求出a²=12，从而得到椭圆的方程．
（2）假设存在直线l，则点A在线段MN的垂直平分线上，把直线l的方程代入椭圆的方程，转化为关于x的一元二次方程，由题意知判别式大于0，设出M、N的坐标，利用一元二次方程根与系数的关系，用斜率表示MN的中点P的坐标，求出AP的斜率，由AP⊥MN，郗虑之际等于-1，求出直线l的斜率，进而得到倾斜角．
解答：解：（1）依题意，设椭圆方程为，
则其右焦点坐标为，（1分）
由|FB|=2，得，
即，解得．（3分）
又∵b=2，∴a²=c²+b²=12，即椭圆方程为．（4分）

（2）由|AM|=|AN|知点A在线段MN的垂直平分线上，
由消去y得x²+3（kx-2）²=12
即（1+3k²）x²-12kx=0（6分）
由k≠0，得方程的△=（-12k）²=144k²＞0，即方程有两个不相等的实数根． （7分）
设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），线段MN的中点P（x，y），
则，∴，
∴，即，（9分）
∵k≠0，∴直线AP的斜率为，（10分）
由AP⊥MN，得，（11分）
∴2+2+6k²=6，解得：，即，（12分）
又0≤α＜π，故，或，
∴存在直线l满足题意，其倾斜角，或．（13分）
点评：本题考查用待定系数法求椭圆的标注方程，直线与圆锥曲线的位置关系，一元二次方程根与系数的关系，两直线垂直的性质，
以及直线的倾斜角与斜率的关系．