Question

椭圆的对称中心在坐标原点，一个顶点为A（0，2），右焦点F与点B(

2

 ， 

2

)的距离为2．
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在斜率k≠0的直线l：y=kx-2，使直线l与椭圆相交于不同的两点M，N满足|

AM

| = |

AN

|，若存在，求直线l的倾斜角α；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）设出椭圆的标准方程，由题意得b=2，再由a、b、c之间的关系及|FB|=2，求出a²=12，从而得到椭圆的方程．
（2）假设存在直线l，则点A在线段MN的垂直平分线上，把直线l的方程代入椭圆的方程，转化为关于x的一元二次方程，由题意知判别式大于0，设出M、N的坐标，利用一元二次方程根与系数的关系，用斜率表示MN的中点P的坐标，求出AP的斜率，由AP⊥MN，斜率之积等于-1，求出直线l的斜率，进而得到直线的倾斜角．

解答：解：（1）依题意，设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1 ( a＞b＞0 )，
则其右焦点坐标为F(c ， 0 ) ，c=

a2-b2

，（1分）
由|FB|=2，得

(c- 2 )2+(0- 2 )2

=2，
即(c-

2

)2+2=4，解得c=2

2

．（3分）
又∵b=2，∴a²=c²+b²=12，即椭圆方程为

x2

12

+

y2

4

=1．（4分）

（2）由|AM|=|AN|知点A在线段MN的垂直平分线上，
由

y=kx-2 x2 12 + y2 4 =1

消去y得x²+3（kx-2）²=12
即（1+3k²）x²-12kx=0（6分）
由k≠0，得方程的△=（-12k）²=144k²＞0，即方程有两个不相等的实数根． （7分）
设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），线段MN的中点P（x₀，y₀），
则x1+x2=

12k

1+3k2

，∴x0=

x1+x2

2

=

6k

1+3k2

，
∴y0=kx0-2=

6k2-2 (1+3k2)

1+3k2

=

-2

1+3k2

，即P (

6k

1+3k2

 ， 

-2

1+3k2

)，（9分）
∵k≠0，∴直线AP的斜率为k1=

-2 1+3k2 -2

6k 1+3k2

=

-2-2(1+3k2)

6k

，（10分）
由AP⊥MN，得

-2-2(1+3k2)

6k

×k=-1，（11分）
∴2+2+6k²=6，解得：k=±

3

3

，即tanα=±

3

3

，（12分）
又0≤α＜π，故α=

π

6

，或α=

5π

6

，
∴存在直线l满足题意，其倾斜角α=

π

6

，或α=

5π

6

．（13分）

点评：本题考查用待定系数法求椭圆的标注方程，直线与圆锥曲线的位置关系，一元二次方程根与系数的关系，两直线垂直的性质，
以及直线的倾斜角与斜率的关系．