Question

已知椭圆：，
（1）若椭圆的长轴长为4，离心率为，求椭圆的标准方程；
（2）在（1）的条件下，设过定点的直线与椭圆交于不同的两点，且为锐角（为坐标原点），求直线的斜率的取值范围；
（3）过原点任意作两条互相垂直的直线与椭圆：相交于四点，设原点到四边形的一边距离为，试求时满足的条件.

Answer 1

（1）；（2）；（3）.

试题分析：（1）利用已知条件找出解出、即得；（2）设直线方程，联立方程组消去得到关于的方程，由求出的范围；（3）设直线的方程为联立方程组消去到关于的方程，利用、韦达定理、点到直线的距离公式求解.
试题解析：（1）依题意，，解得，故椭圆的方程为.
（2）如图，依题意，直线的斜率必存在，

设直线的方程为，，，
联立方程组，消去整理得，
由韦达定理，，，
,
因为直线与椭圆相交，则，
即，解得或，
当为锐角时，向量，则，
即，解得，
故当为锐角时，.
如图，

依题意，直线的斜率存在，设其方程为，，，由于，
，即，又，
          ①
联立方程组，消去得，
由韦达定理得，，代入①得
，
令点到直线的距离为1，则，即，
，
整理得.