Question

已知椭圆的右焦点为 ，为椭圆的上顶点，为坐标原点，且两焦点和短轴的两端构成边长为的正方形.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）是否存在直线交与椭圆于， ，且使，使得为的垂心，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由.

Answer 1

（1） ；（2）.

试题分析：（1）利用正方形的性质，椭圆的性质；（2）由直线的方程于椭圆的方程组成方程组，消去，由及综合求得.
试题解析：（1）由两焦点与短轴的两端点构成边长为的正方形，则，，
所以椭圆方程为.            （4分）
（2）假设存在直线交椭圆于两点，且使为的垂心，设，，
∵，，则，故直线的斜率，∴设直线的方程为，
由得，由题意知，即，      （7分）
且，，由题意应有，
而，，
故，                    （9分）
∴，
解得或，经检验，当时，不存在，故舍去，
∴当时，所求直线方程为满足题意，
综上所述，存在直线，且直线的方程为,             （14分）