Question

已知S_n为数列a_n的前n项和，且2a_n=S_n+n．
（I）若b_n=a_n+1，证明：数列b_n是等比数列；
（II）求数列S_n的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（I）先根据2a_n=S_n+n得到2a_n+1=S_n+1+（n+1），然后两式相减可得到关系式a_n+1=2a_n+1，再结合b_n=a_n+1对a_n+1=2a_n+1两边同时加1可得到a_n+1+1=2（a_n+1），即b_n+1=2b_n，即可证明数列b_n是等比数列．
（II）根据（I）先求出数列b_n的通项公式，进而可得到a_n和S_n的表达式，最后对数列S_n进行分组求和即可得到答案．

解答：解：（I）n=1时，2a₁=S₁+1，
∴a₁=1．
由题意得2a_n=S_n+n，2a_n+1=S_n+1+（n+1），
两式相减得2a_n+1-2a_n=a_n+1+1
即a_n+1=2a_n+1．
于是a_n+1+1=2（a_n+1），
即b_n+1=2b_n，
又b₁=a₁+1=2．
所以数列b_n是首项为2，公比为2的等比数列．
（II）由（I）知，b_n=2×2^n-1=2ⁿ，a_n=b_n-1=2ⁿ-1，
由2a_n=S_n+n，得S_n=2ⁿ⁺¹-n-2，
∴T_n=（2²+2³++2ⁿ⁺¹）-（1+2+3++n）-2n
=

22•(1-2n)

1-2

-

n(n+1)

2

-2n=2n+2-4-

5

2

n-

1

2

n2.

点评：本题主要考查数列的通项公式的求法和数列的前n项和的求法．求数列通项公式一般有公式法、构造法、累加法、累乘法等，求数列的前n项和的方法有公式法、错位相减法、分组法、裂项法等．