Question

已知实数m，n都为正数，且

2

m

+

9

n

=1，求m+n+

m2+n2

的最小值．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：由题目提炼出其几何意义为求过点（2，9）的直线与两坐标轴正半轴相交所围成的三角形的周长的最小值，然后利用三角代换列出三角形的周长，然后借助于导数求得最小值．

解答： 解：原题的几何意义是求过点（2，9）的直线与两坐标轴正半轴相交所围成的三角形的周长的最小值．
设三角形三个顶点坐标分别为O（0，0），A（m，0），B（0，n），其中m＞0，n＞0，
如图

设角OAB=α，α∈（0，

π

2

），则：
OA=m=2+

9

tanα

，
OB=n=9+2tanα，
AB=

9

sinα

+

2

cosα

，
周长l=OA+AB+BO=11+

9

tanα

+2tanα+

9

sinα

+

2

cosα

=11+

2tan3 α 2 -5tan2 α 2 +2tan α 2 +9

tan α 2 -tan3 α 2

．
令tan

α

2

=x，x∈（0，1），
则l=11+

2x3-5x2+2x+9

x-x3

=

9+13x-5x2-9x3

x-x3

=9+

-5x2+4x+9

x-x3

=9+

9-x

x(1-x)

．
令t=

9-x

x(1-x)

，则t′=

-x2+18x-9

x2(1-x)2

，由t′=0得x=9±6

2

．
当x∈(0，9-6

2

)，(9+6

2

，+∞)时，t′＜0，当x∈(9-6

2

，9+6

2

)，t′＞0．
∴当x=9-6

2

时，l有最小值为26+12

2

．

点评：本题考查了直线与方程，考查了数学转化思想方法，考查了同角三角函数的基本关系式，训练了利用导数求函数的最值，是难度较大的题目．