Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右准线为x=

3

2

6

，离心率为

6

3

，A（-a，0），B（0，b），光线通过点C（-1，0）射到线段AB上的点T（端点除外），经过线段AB反射，其反射光线与椭圆交于点M．
（1）求椭圆的方程；
（2）若TC=TM，求T点横坐标m的值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）运用椭圆的准线方程和离心率公式，及a，b，c的关系，解方程即可得到椭圆方程；
（2）求出直线AB的方程，设点C关于AB的对称点为C’（x₀，y₀），利用中点坐标公式和垂直的结论，列出方程，求出C'，得到直线CM的方程，再由椭圆方程，求出交点，再由中点坐标公式，即可得到m．

解答： 解：（1）根据题意：右准线方程为：x=

a2

c

=

3 6

2

，
e=

c

a

=

6

3

，a²=b²+c²
联立解得：a=3，c=

6

，b=

3

∴椭圆方程为：

x2

9

+

y2

3

=1；
（2）A（-3，0），B（0，

3

）∴直线AB：y=

3

3

x+

3

，
设点C关于AB的对称点为C’（x₀，y₀），

y0

x0+1

=-

3

且

y0

2

=

3

3

×

x0-1

2

+

3

解得，x₀=-2，y₀=

3

，
∴C'（-2，

3

）
∵TC=TM∴TC'=TM，
∴T为C′M的中点．
CM的垂直平分线经过T点，根据相似，其实CM∥AB，则直线CM：y=

3

3

x+

3

3

，
联立椭圆方程x²+3y²=9，
解得，x=

-1+ 17

2

，y=

3 + 51

6

，或x=

-1- 17

2

，y=

3 - 51

6

．
∴m=

-2+ -1- 17 2

2

=-

5+ 17

4

．

点评：本题考查椭圆的方程和性质，考查点关于直线对称的特点，考查直线方程和椭圆方程联立，求交点，考查运算能力，属于中档题．