Question

眉山市某中学有三位同学利用周末到东坡湖公园游玩，由于时间有限，三人商定在已圈定的10个娱乐项目中各自随机的选择一项体验（选择每个项目的可能性相同）
（Ⅰ）求三人中恰好有两人选择同一项目体验的概率；
（Ⅱ）若10个项目中包括了滑旱冰、激流勇进、划船项目，求三名同学选择这三个项目的人员个数ξ的分布列与数学期望．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）记“三人中恰有两人选择同一项目体验”为事件A，依题意每人选择每个项目的概率均为，由此能求出三人中恰好有两人选择同一项目体验的概率；
（Ⅱ）依题意ξ=0，1，2，3，而每个人选中滑旱冰、激流勇进、划船项目的概率为，选中其它项目的概率，将三个同学选择项目看作是三次独立重复试验，则P（ξ=0）=（）³=，P（ξ=1）=C₃¹××（）²=，
P（ξ=2）=C₃²×（）²×=，P（ξ=3）=C₃³×（）³=，由此能求出ξ的分布列和期望．
解答：解：（Ⅰ）记“三人中恰有两人选择同一项目体验”为事件A，依题意每人选择每个项目的概率均为 （2分）
则P（A）=C₁₀¹C₃²×（）²×（）¹= （5分）
（Ⅱ）依题意ξ=0，1，2，3，而每个人选中滑旱冰、激流勇进、划船项目的概率为，选中其它项目的概率，将三个同学选择项目看作是三次独立重复试验，（6分）
则P（ξ=0）=（）³=，P（ξ=1）=C₃¹××（）²=，
P（ξ=2）=C₃²×（）²×=，P（ξ=3）=C₃³×（）³= （10分）
∴ξ的分布列为

∴Eξ=0×+1×+2×+3×=0.9．（12分）
点评：本题考查离散型随机变量的期望和方差，解题时要注意n次独立重复试验恰好发生k次的概率公式的灵活运用．